Matematica di base Esempi

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2 r$ da $4 r^{2} + 10 r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $2 r$ da $4 r^{2}$ .

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2 r$ da $10 r$ .

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2 r$ da $2 r (2 r) + 2 r (5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.2

Scomponi $4$ da $4 r - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $4$ da $4 r$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $4$ da $4 r + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.3

Riduci l'espressione $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $r - 4$ è $r - 4$ stesso.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $r + 5$ è $r + 5$ stesso.

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $r - 4, r + 5, r + 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(r - 4) (r + 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(r - 4) (r + 5)$ ciascun termine in $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ per $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(r - 4) (r + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1.1

Sposta $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.5.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.6

Espandi $(r - 4) (r + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.7.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.7.2

Sottrai $4 r$ da $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica $- 2$ per $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $2 r^{2}$ da $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $2 r$ da $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $r + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $r + 5$ da $(r - 4) (r + 5)$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $r$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $4 r$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $4 r$ da $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

Passaggio 4.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $40$ e $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $2$ da $2 r^{2} + 4 r + 56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $2 r^{2}$ .

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2$ da $4 r$ .

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $2$ da $56$ .

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Passaggio 4.4.4

Scomponi $2$ da $2 r^{2} + 2 (2 r)$ .

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Passaggio 4.4.5

Scomponi $2$ da $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ .

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

Passaggio 4.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Dividi $r^{2} + 2 r + 28$ per $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

Passaggio 4.6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.7

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 28$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.3

Sottrai $112$ da $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.4

Riscrivi $- 108$ come $- 1 (108)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (108)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.7

Riscrivi $108$ come $6^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.7.1

Scomponi $36$ da $108$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.7.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.1.9

Sposta $6$ alla sinistra di $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.8.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

Passaggio 4.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$